Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），S_n为其前n项和．数列{b_n}为等差数列，且b₁=a₁，b₄=S₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}$，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求证：$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明．

解答 解：（Ⅰ）由已知得 $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，
∴数列{a_n}是以为1首项，2为公比的等比数列．
∴a_n=2^n-1．
设等差数列{b_n}的公差为d，
∵b₁=a₁=1，b₄=S₃=1+2+2²=7，
∴7=1+3d，解得d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得设c_n=$\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，
∵数列$\{-\frac{1}{2n+1}\}$单调递增，
∴$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”、等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．