Question

【题目】设抛物线的焦点为，准线为.已知点在抛物线上，点在上， 是边长为4的等边三角形.

（1）求的值；

（2）在轴上是否存在一点，当过点的直线与抛物线交于、两点时， 为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由题知， ，则.设准线与轴交于点，则.又是边长为4的等边三角形， ，所以， ，从而可得结果；（2）设点，由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为，

由得， ，由韦达定理及两点间距离公式可得，同理可得，化简即可得， 时为定值，此时点为定点.

试题解析：（1）由题知， ，则.设准线与轴交于点，则.又是边长为4的等边三角形， ，所以， ，即.

（2）设点，由题意知直线的斜率不为零，

设直线的方程为，点， ，

由得， ，则， ， .

又，同理可得，则有 .

若为定值，则，此时点为定点.

又当， 时， ，

所以，存在点，当过点的直线与抛物线交于、两点时， 为定值.