Question

【题目】已知椭圆的焦距为,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程和长轴长;

（Ⅱ）设为椭圆的左焦点, 为直线上任意一点,过点作直线的垂线交椭圆于,记分别为点和到直线的距离,证明.

Answer 1

【答案】（1）,长轴长为.（2）见解析

【解析】试题分析： 由椭圆的性质可知，即可求得的值，从而求得椭圆的方程和长轴长由求得直线的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式可求得的中点，由，根据三角形全等的判定和性质可证明

解析：（Ⅰ）由题意可知,椭圆的焦点在轴上, ,

由,解得

所以椭圆的方程为,长轴长为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知点的坐标为,设点的坐标为,

则直线的斜率

当时,直线的斜率直线的方程是,

当时,直线的方程是,也符合的形式,

设,将直线的方程与椭圆联立,

由得,

,所以,，

设为线段的中点,则点

所以直线的斜率

又直线的斜率,

所以点在直线上,

由三角形全等的判定和性质可知: