Question

【题目】如图，已知椭圆C： （a>b>0）的离心率为，F为椭圆C的右焦点.A（-a，0），|AF|=3.

（I）求椭圆C的方程；

（II）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M.直线OM与直线x=4交于点D，过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E.求证：∠ODF=∠OEF.

Answer 1

【答案】.（I）；（II）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率为， ，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆C的方程；（2）设直线的方程为： ，将其代入椭圆方程，整理得，根据韦达定理可得（， ），直线的方程是，令，得，同理可得，根据斜率公式可得在和中， 和都与互余，所以.

试题解析：（I）设椭圆C的半焦距为c.依题意，得

，a+c=3. 解得a=2，c=1.

所以b2=a2-c2=3，所以椭圆C的方程是

（II）由（I）得A（-2，0）.设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y1）.

设直线AP的方程为：y=k（x+2）（k≠0），将其代入椭圆方程，整理得

（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，

所以-2+x1=.

所以x0=，y0=k（x0+2）=，

即M（， ）.

所以直线OM的斜率是，

所以直线OM的方程是y=-x.令x=4，得D（4，-）.

直线OE的方程是y=kx.令x=4，得E（4，4k）.

由F（1，0），得直线EF的斜率是=，所以EF⊥OM，记垂足为H；

因为直线DF的斜率是=，所以DF⊥OE，记垂足为G.

在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余，

所以∠ODF=∠OEF.