Question

6．在△ABC中，角A，B，C所对的对边长分别为a，b，c，若cos²B+cosB-1=-cosAcosC，则角B的最大值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 变形已知式子和正弦定理可得b²=ac，再由余弦定理和基本不等式可得cosB≥$\frac{1}{2}$，可得答案．

解答 解：∵在△ABC中cos²B+cosB-1=-cosAcosC，
∴cos²B-1-cos（A+C）=-cosAcosC，
∴cos²B-1-cosAcosC+sinAsinC=-cosAcosC，
∴sinAsinC=1-cos²B=sin²B，
∴由正弦定理可得b²=ac，
∴由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$
当且仅当a=c时cosB取最小值$\frac{1}{2}$，
此时角B取最大值$\frac{π}{3}$
故答案为：$\frac{π}{3}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式和和差角的三角函数，属中档题．