【题目】现有4个人参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1) 求出4个人中恰有2个人去 参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(3)用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记
,求随机变量
的分布列与数学期望
.
【答案】(1)8:27
(2)1:9
(3) 的分布列是
0 | 2 | 4 | |
【解析】试题分析:依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的人数的概率为
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件
,故
;(Ⅰ)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2);(Ⅱ)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B,则B=A3∪A4,利用互斥事件的概率公式可求;(Ⅲ)ξ的所有可能取值为0,2,4,由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,求出相应的概率,可得ξ的分布列与数学期望.
试题解析:解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为
.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件
(i=0,1,2,3,4),则
(Ⅰ)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率3分
(Ⅱ)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则,
由于与
互斥,故
所以,这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为7分
(Ⅲ)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与
互斥,
与
互斥,故
,
。
所以ξ的分布列是
ξ | 0 | 2 | 4 |
P |
随机变量ξ的数学期望12分.
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线
的极坐标方程为
,直线
的参数方程为
(
为参数,
为直线的倾斜角).
(1)写出直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
有唯一的公共点,求角
的大小.
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【题目】给出下列命题:①定义在上的函数
满足
,则
一定不是
上的减函数;
②用反证法证明命题“若实数,满足
,则
都为0”时,“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设
都不为0”;
③把函数的图象向右平移
个单位长度,所得到的图象的函数解析式为
;
④“”是“函数
为奇函数”的充分不必要条件.
其中所有正确命题的序号为__________.
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【题目】某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对400名高一学生的一周课外体育锻炼时间进行调查,结果如下表所示:现采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本.
(1)其中课外体育锻炼时间在分钟内的学生应抽取多少人?
(2)若从(1)中被抽取的学生中随机抽取2名,求这2名学生课外体育锻炼时间均在分钟内的概率.
锻炼时间(分钟) | ||||||
人数 | 40 | 60 | 80 | 100 | 80 | 40 |
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【题目】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线
,
的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将放在容器Ⅰ中,
的一端置于点A处,另一端置于侧棱
上,求
没入水中部分的长度;
(2)将放在容器Ⅱ中,
的一端置于点E处,另一端置于侧棱
上,求
没入水中部分的长度.
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【题目】如图5所示,已知四棱锥中,底面
为矩形,
底面
,
,
,
为
的中点.
⑴指出平面与
的交点
所在位置,并给出理由;
⑵求平面将四棱锥
分成上下两部分的体积比.
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