【题目】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求
的值;
(2)讨论方程的实数根的情况.
【答案】(1)(2)当
时,方程有两个实数根;当
时,方程无实数根.
【解析】试题分析: (1)求出,利用两直线垂直,求出
的值; (2)设
,利用单调性求出
, 分类讨论:
,得出结果.
试题解析:(1)依题意,得,
所以,
又由曲线在点
处的切线与直线
垂直,可得
,
所以,解得
;
(2)方程,即
.
当时,得
,解得
,
当时,解得
.但是
,即
,所以
时,方程无实数根.
令,则
,
故当时,
是单调递增函数;当
时,
是单调递减函数,
所以.
当时,由
,得
.
又,令
,则
在区间
上
,故
为增函数,所以
,即
,所以
.
,故当
时,方程有两个实数根;当
时,方程无实数根.
点睛: 本题主要考查了导数的几何意义以及函数零点的个数,属于中档题.
【一题多解】在(2)中,由有
,转化为函数
与
图象交点的个数,当
与
相切时,切点为
,又
,所以此时无零点;由图象知,当
时图象有两个交点,即有两个零点,
,图象没有交点,无零点,综上讨论,得出结论:
有两个实数根,
无实数根.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一个盒子内装有8张卡片,每张卡片上面写着1个数字,这8个数字各不相同,且奇数有3个,偶数有5个.每张卡片被取出的概率相等.
(Ⅰ)如果从盒子中一次随机取出2张卡片,并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数,求所得新数是偶数的概率;
(Ⅱ)现从盒子中一次随机取出1张卡片,每次取出的卡片都不放回盒子,若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片,否则继续取出卡片.设取出了次才停止取出卡片,求
的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知一家公司生产某种产品的年固定成本为6万元,每生产1千件需另投入2.9万元,设该公司一年内生产该产品千件并全部销售完,每千件的销售收入为
万元,且
.
(1)写出年利润(万元)关于年产量
(千件)的函数解析式;
(2)求该公司生产这一产品的最大年利润及相应的年产量.(年利润=年销售收入-年总成本)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】现有4个人参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1) 求出4个人中恰有2个人去 参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(3)用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记
,求随机变量
的分布列与数学期望
.
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【题目】为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前次考试的数学成绩
、物理成绩进行分析.下面是该生
次考试的成绩.
数学 | 108 | 103 | 137 | 112 | 128 | 120 | 132 |
物理 | 74 | 71 | 88 | 76 | 84 | 81 | 86 |
(Ⅰ)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的说明;
(Ⅱ)已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的,求物理成绩
与数学成绩的回归直线方程
(Ⅲ)若该生的物理成绩达到90分,请你估计他的数学成绩大约是多少?
(附: )
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【题目】已知抛物线,直线
倾斜角是
且过抛物线
的焦点,直线
被抛物线
截得的线段长是16,双曲线
:
的一个焦点在抛物线
的准线上,则直线
与
轴的交点
到双曲线
的一条渐近线的距离是( )
A. 2 B. C.
D. 1
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【题目】已知函数f(x)=a4x﹣a2x+1+1﹣b(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(x)﹣k4x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求实数k的取值范围.
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