Question

【题目】已知函数f（x）=a4x﹣a2x+1+1﹣b（a＞0）在区间[1，2]上有最大值9和最小值1
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）﹣k4x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令t=2x∈[2，4]，

则y=at2﹣2at+1﹣b，t∈[2，4]，

对称轴t=1，a＞0，

∴t=2时，ymin=4a﹣4a+1﹣b=1，

t=4时，ymax=16a﹣8a+1﹣b=9，

解得a=1，b=0，

（2）解：4x﹣22x+1﹣k4x≥0在x∈[﹣1，1]上有解

设2x=t，

∵x∈[﹣1，1]，

∴t∈[ ，2]，

∵f（2x）﹣k.2x≥0在x∈[﹣1，1]有解，

∴t2﹣2t+1﹣kt2≥0在t∈[ ，2]有解，

∴k≤ =1﹣ + ，

再令 =m，则m∈[ ，2]，

∴k≤m2﹣2m+1=（m﹣1）2

令h（m）=m2﹣2m+1，

∴h（m）max=h（2）=1，

∴k≤1，

故实数k的取值范围（﹣∞，1]

【解析】（1）令t=2x∈[2，4]，依题意知，y=at2﹣2at+1﹣b，t∈[2，4]，由即可求得a、b的值．（2）设2x=t，k≤ =1﹣ + ，求出函数1﹣ + 的大值即可
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．