Question

18．若以双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1（{a＞0}）$的左、右焦点和点$（{2，\sqrt{5}}）$为顶点的三角形为直角三角形，则该双曲线的焦距为（　　）

• A． $2\sqrt{5}$
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 由题意可知，求得$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（2+c，$\sqrt{5}$），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（2-c，$\sqrt{5}$），由题意可知，$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，即可求得c的值，则双曲线的焦距．

解答 解：由题意可知：F₁（-c，0），F₂（c，0），P$（{2，\sqrt{5}}）$，
$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（2+c，$\sqrt{5}$），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（2-c，$\sqrt{5}$），
则$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，即（2+c，$\sqrt{5}$）（2-c，$\sqrt{5}$）=0，即4-c²+5=0，c=3，
双曲线的焦距2c=6，
故选B．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题．