Question

8．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）离心率为$\frac{1}{2}$，过点$E（-\sqrt{7}，0）$的椭圆的两条切线相互垂直．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若存在过点（t，0）的直线l交椭圆于A，B两点，使得FA⊥FB（F为右焦点），求t的范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式，求得a=2c，b²=a²-c²=2c²，由函数的对称性可知：ME的直线方程为y=x+1，代入椭圆方程，由△=0，即可求得c值，即可求得a和b，求得椭圆方程；
（2）设l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得t的范围．

解答 解：（1）由题意的椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，b²=a²-c²=2c²，
由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，则k_ME=1，ME的直线方程为y=x+1，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+\sqrt{7}}\\{\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1}\end{array}}\right.$，整理得：7x²+8$\sqrt{7}$x+28-12c²=0
△=（8$\sqrt{7}$）²-4×7×（28-12c²）=0，解得：c=1，
∴∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）设l的方程为x=my+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{{\begin{array}{l}{my+t=x}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，（3m²+4）y²+6mty+3t²-12=0，
${y_1}+{y_2}=\frac{-6mt}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{{3{t^2}-12}}{{3{m^2}+4}}$$\overrightarrow{FA}=（{x_1}-1，{y_1}）$，
$\overrightarrow{FB}=（{x_2}-1，{y_2}）$，$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1）（x₁-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=$（{m^2}+1）{y_1}{y_2}+（mt-m）（{y_1}+{y_2}）+{t^2}-2t+1=0$，
∴7t²-8t-8=9m²有解，
∴7t²-8t-8≥0，则$t≥\frac{{4+6\sqrt{2}}}{7}$或$t≤\frac{{4-6\sqrt{2}}}{7}$．
∴t的范围（-∞，$\frac{4-6\sqrt{2}}{7}$]∪[$\frac{4+6\sqrt{2}}{7}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．