Question

13．2017年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系，某网站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：

上春晚次数x（单位：次）	2	4	6	8	10
粉丝数量y（单位：万人）	10	20	40	80	100

（1）若该演员的粉丝数量g（x）≤g（1）=0与上春晚次数x满足线性回归方程，试求回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，并就此分析，该演员上春晚12次时的粉丝数量；
（2）若用$\frac{{y}_{i}}{{x}_{i}}$（i=1，2，3，4，5）表示统计数据时粉丝的“即时均值”（四舍五入，精确到整数），从这5个“即时均值”中任选2数，记所选的2数之和为随机变量η，求η的分布列与数学期望．
参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）由题意，计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归方程，计算x=12时$\stackrel{∧}{y}$的方程即可；
（2）经计算可知这五个“即时均值”分别为：5、5、7、10、10，
得出η的可能取值，计算对应的概率值，写出η的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）由题意可知，
计算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+6+8+10）=6，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（10+20+40+80+100）=50；
回归系数为
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{（2-6）•（10-50）+…+（10-6）•（100-50）}{{（2-6）}^{2}+…{+（10-6）}^{2}}$=12，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=50-12×6=-22，
∴回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=12x-22；
当x=12时，$\stackrel{∧}{y}$=12×12-22=122，
所以该演员上春晚12次时的粉丝数约为122万人；
（2）经计算可知，这五个“即时均值”分别为：5、5、7、10、10，
∴η的可能取值有10、12、15、17、20；
计算P（η=10）=$\frac{1}{10}$，P（η=12）=$\frac{1}{5}$，
P（η=15）=$\frac{2}{5}$，P（η=17）=$\frac{1}{5}$，
P（η=20）=$\frac{1}{10}$；
∴η的分布列为：

η	10	12	15	17	20
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴数学期望为E（η）=10×$\frac{1}{10}$+12×$\frac{1}{5}$+15×$\frac{2}{5}$+17×$\frac{1}{5}$+20×$\frac{1}{10}$=$\frac{74}{5}$．

点评 本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是中档题．