Question

1．极坐标系中椭圆C的方程为ρ²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．
（1）若椭圆上任一点坐标为P（x，y），求${x^2}+\sqrt{2}xy$的取值范围；
（2）若椭圆的两条弦AB，CD交于点Q，且直线AB与CD的倾斜角互补，求证：|QA|•|QB|=|QC|•|QD|．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C的极坐标方程能椭圆C的直角坐标方程，设$x=\sqrt{2}cosθ，y=sinθ$，由三角函数性质能求出${x^2}+\sqrt{2}xy$的取值范围．
（2）设直线AB的倾斜角为α，直线CD的倾斜角为π-α，Q（x₀，y₀），直线AB的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcoα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$，（t为参数），代入x²+2y²=2，得：（x₀+tcosα）²+2（y₀+tsinα）²-2=0，推导出|QA|•|QB|=|t₁t₂|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2}{co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}$|，同理，|QC|•|QB|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2}{co{s}^{2}（π-α）+2si{n}^{2}（π-α）}$|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2}{co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}$|，由此能证明|QA|•|QB|=|QC|•|QD|．

解答 （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）∵椭圆C的方程为ρ²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，
∴椭圆C的直角坐标方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
设$x=\sqrt{2}cosθ，y=sinθ$，
则${x^2}+\sqrt{2}xy=2{cos^2}θ+2cosθsinθ$
=$1+cos2θ+sin2θ=1+\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）∈[{1-\sqrt{2}，1+\sqrt{2}}]$．
∴${x^2}+\sqrt{2}xy$的取值范围是[1-$\sqrt{2}，1+\sqrt{2}$]．
证明：（2）设直线AB的倾斜角为α，直线CD的倾斜角为π-α，Q（x₀，y₀），
则直线AB的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcoα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$，（t为参数），
代入x²+2y²=2，得：（x₀+tcosα）²+2（y₀+tsinα）²-2=0，
即（cos²α+2sin²α）t²+（2x₀cosα+4y₀sinα）t+（${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}$-2）=0，
设A、B对应的参数分别为t₁，t₂，
则|QA|•|QB|=|t₁t₂|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2}{co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}$|，
同理，|QC|•|QB|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2}{co{s}^{2}（π-α）+2si{n}^{2}（π-α）}$|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2}{co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}$|，
∴|QA|•|QB|=|QC|•|QD|．

点评 本题考查代数式的取值范围的求法，考查两组线段乘积相等的证明，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．