Question

设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，若函数f（x）与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，则函数g（x）=

 

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Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：根据该函数是单调函数，结合f[f（x）-log₂x]=3是定值，则f（x）-log₂x必为常数，否则与函数f（x）是单调函数矛盾，据此可求出f（x），再根据f（x）与g（x）互为反函数求出g（x）即可．

解答： 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log₂x为定值，
设t=f（x）-log₂x，则f（x）=t+log₂x，
又由f（t）=3，可得t+log₂t=3，
可解得t=2，故f（x）=2+log₂x，
又因为f（x）与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，
所以g（x）=f^-1（x）=2^x-2，x∈R．
故答案为：g（x）=2^x-2，x∈R

点评：本题概念性很强，在充分理解单调函数定义的基础上来分析对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3定值，才能使问题获解，对学生的能力要求很高，同时也考查了互为反函数的函数性质．