Question

已知函数f(x)＝a^x＋x²－xlna－b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数．

(1)试判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；

(2)当a＝e，b＝4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k＋1)上存在零点．

Answer 1

解　(1)f′(x)＝a^xlna＋2x－lna＝2x＋(a^x－1)lna.

∵a>1，∴当x∈(0，＋∞)时，lna>0，a^x－1>0.

∴f′(x)>0.

∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

(2)∵f(x)＝e^x＋x²－x－4，∴f′(x)＝e^x＋2x－1，∴f′(0)＝0.

当x>0时，e^x>1，∴f′(x)>0.

∴f(x)是(0，＋∞)上的增函数；

同理，f(x)是(－∞，0)上的减函数．

又f(0)＝－3<0，f(1)＝e－4<0，

f(2)＝e²－2>0，

当x>2时，f(x)>0，

∴当x>0时，函数f(x)的零点在(1,2)内．

∴k＝1满足条件；

f(0)＝－3<0，f(－1)＝－2<0，

f(－2)＝＋2>0，

当x<－2时，f(x)>0；

∴当x<0时，函数f(x)的零点在(－2，－1)内．

∴k＝－2满足条件．

综上所述，k＝1或－2.