Question

1．已知线段PQ的端点Q的坐标是（4，0），端点P在圆（x+2）²+y²=4上运动，点M是线段PQ的中点，
（1）求点M的轨迹方程，并说明它是什么图形；
（2）设A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），若点M的轨迹与△ABC的相切，求△ABC的面积S的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），由点Q的坐标是（4，0），点M是线段PQ的中点，推导出点P的坐标满足方程（x₀+2）²+${{y}_{0}}^{2}$=4，由此能求出点M的轨迹方程．
（2）设直线AC的斜率为k₁（k₁＞0），直线BC的斜率为k₂（k₂≤0），则直线AC的方程为y=k₁x+t，直线BC的方程为y=k₂x+t+6．由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x+t}\\{y={k}_{2}x+t+6}\end{array}\right.$，得C点的横坐标为$\frac{6}{{k}_{1}-{k}_{2}}$．从而S=$\frac{18}{{{k_1}-{k_2}}}$．，点M的轨迹为圆N，从而点M的轨迹与△ABC内切，圆N与直线AC、BC都相切，由此能求出结果．

解答 解：（1）设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），
由于点Q的坐标是（4，0），且点M是线段PQ的中点，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}+4}{2}}\\{y=\frac{{y}_{0}}{2}}\end{array}\right.$，于是有$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-4}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，①…（2分）
因为点P在圆（x+2）²+y²=4上运动，
所以点P的坐标满足方程（x+2）²+y²=4，即（x₀+2）²+${{y}_{0}}^{2}$=4，②
把①代入②得（2x-4+2）²+（2y）²=4，整理得（x-1）²+y²=1，
∴点M的轨迹方程是（x-1）²+y²=1，…（4分）
它是以N（1，0）为圆心，半径长为1的圆．            …（5分）
（2）设直线AC的斜率为k₁（k₁＞0），直线BC的斜率为k₂（k₂≤0），
则直线AC的方程为y=k₁x+t，直线BC的方程为y=k₂x+t+6．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x+t}\\{y={k}_{2}x+t+6}\end{array}\right.$，解得C点的横坐标为$\frac{6}{{k}_{1}-{k}_{2}}$．  …（6分）
∵|AB|=t+6-t=6，
∴S=$\frac{1}{2}$×|$\frac{6}{{k}_{1}-{k}_{2}}$|×6=$\frac{18}{|{k}_{1}-{k}_{2}|}$=$\frac{18}{{{k_1}-{k_2}}}$．         …（7分）
由（1）知点M的轨迹为圆N，∴点M的轨迹与△ABC相切，即圆N与△ABC内切，
∴圆N与直线AC、BC都相切，
∴1=$\frac{|{k}_{1}+t|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$，∴k₁=$\frac{1-t2}{2t}$；
同理可得${k}_{2}=\frac{1-（t+6）^{2}}{2（t+6）}$．               …（8分）
∴k₁-k₂=$\frac{3（{t}^{2}+6t+1）}{{t}^{2}+6t}$，
∴S=$\frac{6（{t}^{2}+6t）}{{t}^{2}+6t+1}$=6（1-$\frac{1}{{t}^{2}+6t+1}$），…（9分）
∵-5≤t≤-2，∴-8≤t²+6t+1≤-4，
∴S_max=6×（1+$\frac{1}{4}$）=$\frac{15}{2}$，S_min=6×（1+$\frac{1}{8}$）=$\frac{27}{4}$．        …（10分）

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值和最小值的求法，涉及到直线方程、圆、直线与圆相切等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．