Question

如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y₁＋y₂的值及直线AB的斜率．

[分析]　(1)设出抛物线方程，利用待定系数法求解．

(2)可考虑“点差法”表示直线AB的斜率．

Answer 1

[解析]　(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y²＝2px(p>0)．

∵点P(1,2)在抛物线上，

∴2²＝2p×1，解得p＝2.

故所求抛物线的方程是y²＝4x，

准线方程是x＝－1.

(2)设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB，

则，

∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，

∴k_PA＝－k_PB.

由A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)均在抛物线上，得

y＝4x₁①

y＝4x₂②

∴，

∴y₁＋2＝－(y₂＋2)．

∴y₁＋y₂＝－4.

由①－②得直线AB的斜率

k_AB＝＝－1(x₁≠x₂)．

[点评]　(1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法．利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值．

(2)对于和抛物线有两个交点的直线问题，“点差法”是常用方法．如若A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是抛物线y²＝2px上两点，则直线AB的斜率k_AB与y₁＋y₂可得如下等式：

由y＝2px₁①

y＝2px₂②

②－①得y－y＝2p(x₂－x₁)，

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