Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的周期为π，且图象上一个最低点为M（

2π

3

，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
 （2）当x∈[0，

π

12

]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）结合周期公式T=

2π

ω

=π，可求得ω，由f_min（x）=-2可得A，由f（x）的最低点为M（

2π

3

，-2），代入函数解析式，结合0＜φ＜

π

2

可求φ
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），由0≤x≤

π

12

 可求2x+

π

6

的范围，结合正弦函数的性质可求函数的最值

解答：解：（1）由T=

2π

ω

=π，可得ω=2
又由f_min（x）=-2可得A=2
∵f（x）的最低点为M（

2π

3

，-2）
∴sin（

4π

3

+φ）=-1
∵0＜φ＜

π

2

∴

4π

3

＜

4π

3

+φ＜

3π

2

∴

4π

3

+φ=

3π

2

∴φ=

π

6

∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（2）∵0≤x≤

π

12

∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

3

∴当2x+

π

6

=

π

6

，即x=0时，f_min（x）=2sin

π

6

=1
当2x+

π

6

=

π

3

，即x=

π

12

时，f_max（x）=2sin

π

3

=

3

点评：本题主要考查了由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数的解析式，其一般步骤：由函数的周期求解ω，由函数的最值点求解A，最后由函数的图象上的一点（一般用最值点）求φ，从而求出函数的解析式．