Question

设椭圆D：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，在x轴的负半轴上有一点B，满足

BF1

=

F1F2

，且

AB

•

AF2

=0
（1）若过A，B，F₂三点的圆C恰好与直线l：x-

3

y-3=0相切，求圆C的方程及椭圆D的方程；
（2）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M，N，设P为椭圆上一点，且满足

OM

+

ON

=t•

OP

（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用

BF1

=

F1F2

，可得F₁为BF₂的中点，根据AB⊥AF₂，可得a，c的关系，利用过A、B、F₂三点的圆C恰好与直线l：x-

3

y-3=0相切，求出a，即可求出椭圆的方程与圆的方程；
（2）设直线MN方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求实数t的取值范围．

解答： 解：（1）由题意知F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b）．
因为AB⊥AF₂，所以在Rt△ABF₂中，BF₂²=AB²+AF₂²，
又因为

BF1

=

F1F2

，所以F₁为BF₂的中点，
所以（4c）²=（

9c2+b2

）²+a²，
又a²=b²+c²，所以a=2c．
所以F₂（

a

2

，0），B（-

3

2

a，0），
Rt△ABF₂的外接圆圆心为F₁（-

a

2

，0），半径r=a，
因为过A、B、F₂三点的圆C恰好与直线l：x-

3

y-3=0相切，
所以

|- 1 2 a-3|

1+3

=a，解得a=2，所以c=1，b=

3

．
所以椭圆的标准方程为：

x2

4

+

y2

3

=1，圆的方程为（x+1）²+y²=1；
（2）设直线MN方程为y=k（x-3），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），
将直线方程代入椭圆方程，消去y，可得
（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
∴△=（24k²）-4（4k²+3）（36k²-12）＞0，∴k²＜

3

5

，
又x₁+x₂=

24k2

4k2+3

，x₁x₂=

36k2-12

4k2+3

，
∵

OM

+

ON

=t

OP

，
∴x₁+x₂=tx，y₁+y₂=ty，
∴tx=

24k2

4k2+3

，ty=

-18k

4k2+3

，
∴x=

24k2

(4k2+3)t

，y=

-18k

(4k2+3)t

，
代入椭圆方程可得3×[

24k2

(4k2+3)t

]²+4×[

-18k

(4k2+3)t

]²=12，
整理得t²=

36k2

4k2+3

=

36

4+ 3 k2

∵k²＜

3

5

，∴0＜t²＜4，
∴实数t取值范围是（-2，0）∪（0，2）．

点评：本题主要考查椭圆方程与圆的方程的求法，考查直线与圆相切的条件，考查直线与椭圆联立，运用韦达定理，具有一定的运算量．