Question

已知cos（

π

2

-θ）=

3

5

，θ∈（

π

2

，π）．
（Ⅰ）求cosθ的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=

3

sinxcosx-

5

6

sinθcos2x的增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,同角三角函数基本关系的运用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系式求出结果．
（Ⅱ）对三角函数关系式进行恒等变换，变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数函数的单调区间．

解答： （Ⅰ）解：由cos(

π

2

-θ)=

3

5

，
得sinθ=

3

5

，
又sin²θ+cos²θ=1，
所以cos2θ=

16

25

因为θ∈(

π

2

，π)，
所以cosθ=-

4

5

（Ⅱ）f(x)=

3

sinxcosx-

5

6

sinθcos2x
=

3

sinxcosx-

5

6

×

3

5

cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin(2x-

π

6

)
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
所以，函数f（x）的增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)．

点评：本题考查的知识要点：同角三角恒等式的应用，三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求三角函数的单调区间，属于基础题型．