Question

【题目】已知函数

(1)若,函数的极大值为,求实数的值；

(2)若对任意的在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，对a分类讨论，求出每一种情况下的极大值，得到a的方程，即可求出实数a的值. (2)第(2)问，令，转化成证明g(a)的最大值小于等于在上恒成立，再分离参数对恒成立，再利用导数求右边函数的最大值得解.

试题解析：

（1）∵，

∴

①当时， ，

令，得； ，得，

所以在上单调递增， 上单调递减．

所以的极大值为，不合题意．

②当时， ，

令，得； ，得或，

所以在上单调递增， 和上单调递减.

所以的极大值为，解得．符合题意．

综上可得．

（2）令，

当时， ， 在上是增函数

则对恒成立等价于，

即对恒成立.

即对恒成立

令

在上单调递减。

所以实数的取值范围为.