Question

4．已知数列{a_n}中，对任意n∈N^*，a_n+1=4a_n³-3a_n．
（1）求证：若|a_n|＞1，则|a_n+1|＞1；
（2）若存在正整数m，使得a_m=1，求证：
①|a₁|≤1；
②a₁=cos$\frac{2kπ}{{3}^{m-1}}$（其中k∈Z）（参考公式：cos3α=4cos³α-3cosα）

Answer 1

分析 （1）a_n+1=4a_n³-3a_n=a_n$（4{a}_{n}^{2}-3）$，由|a_n|＞1，利用|a_n+1|=|a_n|$（4{a}_{n}^{2}-3）$即可证明．
（2）①利用反证法：假设|a₁|＞1，由（1）可得：?n∈N^*，则|a_n|＞1．与存在正整数m，使得a_m=1，矛盾，即可证明．
②由①可设a₁=cosθ，θ∈[0，π]，利用a_n+1=4a_n³-3a_n．可得a₂=cos3θ，依此类推可得：a_k=cos3^k-1θ，利用存在正整数m，使得a_m=1，可得θ=$\frac{2kπ}{{3}^{m-1}}$．即可证明．

解答 （1）证明：∵a_n+1=4a_n³-3a_n=a_n$（4{a}_{n}^{2}-3）$，
∵|a_n|＞1，则|a_n+1|=|a_n|$（4{a}_{n}^{2}-3）$＞1，
∴|a_n+1|＞1．
（2）证明：①假设|a₁|＞1，由（1）可得：?n∈N^*，则|a_n|＞1．
与存在正整数m，使得a_m=1，矛盾，因此假设不成立．
∴|a₁|≤1．
②由①可设a₁=cosθ，θ∈[0，π]，
∵a_n+1=4a_n³-3a_n．
∴${a}_{2}=4{a}_{1}^{3}$-3a₁=4cos³θ-3cosθ=cos3θ，
依此类推可得：a_k=cos3^k-1θ，
∵存在正整数m，使得a_m=1，
∴cos3^m-1θ=1，
解得3^m-1θ=2kπ（k∈Z），
∴θ=$\frac{2kπ}{{3}^{m-1}}$．
∴a₁=cos$\frac{2kπ}{{3}^{m-1}}$（其中k∈Z）．

点评 本题考查了递推公式的应用、不等式的性质、反证法、三倍角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．