Question

8．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$（n∈N*）
（1）写出a₁，a₂，a₃，a₄，并猜想这个数列的通项公式a_n
（2）用数学归纳法证明所得的结论．

Answer 1

分析 （1）根据已知的递推关系，可以构造出我们熟悉的等差数列．再用等差数列的性质进行求解．
（2）利用数学归纳法的证明步骤，证明即可．

解答 解：（1）根据a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，a₁=1，a₂=$\frac{2}{3}$，
a₃=$\frac{1}{2}$；
a₄=$\frac{2}{5}$；
a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，得2a_n+1+a_n+1a_n=2a_n，
两边同时除以a_n+1a_n，得到$\frac{2}{{a}_{n+1}}$-$\frac{2}{{a}_{n}}$=1，
所以数{$\frac{2}{{a}_{n}}$}是公差为1的等差数列，且$\frac{2}{{a}_{1}}$=2，
所以$\frac{2}{{a}_{n}}$=n+1，所以a_n=$\frac{2}{n+1}$．
（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；
②假设n=k时，命题成立，即a_k=$\frac{2}{k+1}$，
当n=k+1时，$\frac{2}{{a}_{k+1}}-\frac{2}{{a}_{k}}=1$，∴$\frac{2}{{a}_{n+1}}$=1+$\frac{2}{\frac{2}{k+1}}$=k+2，∴a_k+1=$\frac{2}{k+2}$，
即当n=k+1时，命题成立．
根据①②得n∈N⁺，a_n=$\frac{2}{n+1}$都成立．
这个数列的通项公式a_n=$\frac{2}{n+1}$．

点评 构造数列是对已知数列的递推关系式变形后发现规律，创造一个等差或等比数列，借此求原数列的通项公式，是考查的重要内容．同时考查数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力．