Question

17．已知函数f（x）=ln（x+$\frac{a}{x}$-2）（a＞0）
（I）当1＜a＜4时，函数f（x）在[2，4]上的最小值为ln$\frac{3}{2}$，求a；
（Ⅱ）若存在x₀∈（2，+∞），使得f（x₀）＜0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令g（x）=x+$\frac{a}{x}$-2，利用导数判断g（x）的单调性，再根据符合函数判断f（x）的单调性，根据函数的单调性即可求出函数的最值，即可求出a的值，
（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，求出函数的最小值，根据存在x₀∈（2，+∞），使得f（x₀）＜0，得到a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）令g（x）=x+$\frac{a}{x}$-2，
∴g′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
∵x∈[2，4]，1＜a＜4，
∴x²-a＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[2，4]上单调递增，
∴f（x）在[2，4]上单调递增，
∴f（x）_min=f（2）=ln（2+$\frac{a}{2}$-2）=ln$\frac{3}{2}$，
∴a=3，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=f（2）=ln（2+$\frac{a}{2}$-2）=ln$\frac{a}{2}$，
∵存在x₀∈（2，+∞），使得f（x₀）＜0，
∴ln$\frac{a}{2}$＜0=ln1，
∴0＜a＜2
故a的取值范围为（0，2）

点评 本题考查了导数的综合应用及存在性问题的应用以及复合函数的单调性，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．