Question

定义在R上的函数f（x）同时满足f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），且当2≤x≤6时，f(x)=(

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)|x-m|+n
（Ⅰ）求函数f（x）的一个周期；
（Ⅱ）若f（4）=31，求m，n的值．

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数周期的定义即可求函数f（x）的一个周期；
（Ⅱ）利用函数的奇偶性和周期性进行求值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），
∴f（x）=f（4-x）=f（x-4），
即f（4+x）=f（x），
即4是函数f（x）的一个周期；
（Ⅱ）∵函数的周期是4，
∴f（2）=f（6），
即(

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)|2-m|+n=(

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)|6-m|+n，
∴|2-m|=|6-m|，解得m=4，
又f（4）=31，
∴f（4）=(

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)|4-4|+n=1+n=31，
解得n=30．

点评：本题主要考查函数值的计算以及函数周期性的判断，要求熟练掌握函数周期性和奇偶性的应用．