Question

（本小题满分13分）已知由非负整数组成的数列满足下列两个条件：

①，，

②

（1）求；

（2）证明 ；

（3）求的通项公式及其前项和．

Answer 1

（1）;（2）详见解析; （3）;．

【解析】

试题分析：（1）当时将，代入即可求得．因为、均为非负整数,所以可讨论得取值．（2）可用数学归纳法证明此问题．（3）由（2）知成立,所以．所以数列中的奇数项是首项为,公差为2的等差数列;数列中偶数项也是首项为,公差为2的等差数列．从而可得数列的通项公式,再求其和．注意讨论的奇偶．

试题解析：【解析】
（1）由题设得，且、均为非负整数，所以的可能的值为1，2，5，10．

若，则，，与题设矛盾，

若，则，，与题设矛盾，

若，则，，，与题设矛盾，

所以

（2）用数学归纳法证明

（i）当，，等式成立

（ii）假设当（）时等式成立，即，

由题设，

∵，∴,

也就是说，当时，等式成立

根据（i）和（ii），对于所有，有

（3）由，及，，

得，，

即，

所以

考点：1数学归纳法;2数列的通项公式,数列求和．