Question

2．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=2，BC=BB₁=1，D是棱A₁B₁上一点．
（Ⅰ）证明：BC⊥AD；
（Ⅱ）求三棱锥B-ACD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的性质定理证明BC⊥平面ABB₁A₁，即可证明：BC⊥AD；
（Ⅱ）利用转化法结合三棱锥的体积公式即可求三棱锥B-ACD的体积．

解答 证明：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∵BB₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BB₁⊥BC，
∵BB₁∩AB=B，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，
∵AD?平面ABB₁A₁，
∴BC⊥AD．
（Ⅱ）∵BC⊥平面ABB₁A₁，
∴BC是三棱锥C-ABD的高，
则V_B-ACD=V_C-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD•BC=$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$AB•BB₁•BC=$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$×2×1=$\frac{1}{3}$，
即${V_{B-ACD}}=\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线的垂直判断以及三棱锥的体积的计算，利用转化法是解决本题的关键．比较基础．