【题目】定义在上的函数,恒有成立,且,对任意的,则成立的充要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由f(x)=f(2﹣x),得函数关于x=1对称,
由f'(x)(x﹣1)>0得,
当x>1时,f′(x)>0,此时函数为增函数,
当x<1时,f′(x)<0,此时函数f(x)为减函数,
若x1<x2,当x2≤1,函数为减函数,满足对任意的x1<x2,f(x1)>f(x2),
此时x1+x2<2,若x2>1,∵函数f(x)关于x=1对称,则f(x2)=f(2﹣x2),
则2﹣x2<1,则由f(x1)>f(x2)得f(x1)>f(x2)=f(2﹣x2),
此时函数在x<1时为减函数,则x1<2﹣x2,即x1+x2<2,
即对任意的x1<x2,f(x1)>f(x2)得x1+x2<2,反之也成立,
即对任意的x1<x2,f(x1)>f(x2)是x1+x2<2的充要条件,
故选:B
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【题目】设函数f(x)= ﹣2x+ln(x+1)(m∈R).
(Ⅰ)判断x=1能否为函数f(x)的极值点,并说明理由;
(Ⅱ)若存在m∈[﹣4,﹣1),使得定义在[1,t]上的函数g(x)=f(x)﹣ln(x+1)+x3在x=1处取得最大值,求实数t的最大值.
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【题目】下面四个命题: ①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;
②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;
③若a∥b,则a,b与c所成的角相等;
④若a⊥b,b⊥c,则a∥c.
其中真命题的个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
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【题目】已知等差数列{an}的通项公式为an=2n﹣1(n∈N*),且a2 , a5分别是等比数列{bn}的第二项和第三项,设数列{cn}满足cn= ,{cn}的前n项和为Sn
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)是否存在m∈N* , 使得Sm=2017,并说明理由
(3)求Sn .
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【题目】某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如下:
组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
(Ⅰ)求图中a的值;
(Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;
(Ⅲ)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率?
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【题目】已知点P是圆F1:(x﹣1)2+y2=8上任意一点,点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线分别与PF1,PF2交于M,N两点.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)过点G(0, )的动直线l与点的轨迹C交于A,B两点,在y轴上是否存在定点Q,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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