【题目】设函数f(x)= ﹣2x+ln(x+1)(m∈R).
(Ⅰ)判断x=1能否为函数f(x)的极值点,并说明理由;
(Ⅱ)若存在m∈[﹣4,﹣1),使得定义在[1,t]上的函数g(x)=f(x)﹣ln(x+1)+x3在x=1处取得最大值,求实数t的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)定义域为(﹣1,+∞), ,令f'(1)=0,得
; 当
时,
,当x∈
和(1,+∞)时,f′(x)>0,当x∈
时f′(x)<0,
于是f(x)在 单调递增,在
单调递减,在(1,+∞)单调递增.
故当 时,x=1是f(x)的极小值点;
(Ⅱ) .
由题意,当x∈[1,t]时,g(x)≤g(1)恒成立,
易得 ,令
,
∵h(x)必然在端点处取得最大值,即h(t)≤0
即 ,即
,
∵m∈[﹣4,﹣1),∴ ,解得,
,
所以t的最大值为
【解析】(Ⅰ)由f′(1)=0,求得m的值,将m的值代入f(x)解析式中,求出函数f(x)的单调区间,看f(x)在x=1的两侧的单调性是否相反,如果相反则x=1是函数f(x)的极值点;(Ⅱ)由题意知,g(x)﹣g(1)≤0在[1,t]上恒成立,构造函数 ,根据m的范围求出t的取值范围,得出t的最大值.
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值.
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【题目】直线l过P(1,2),且A(2,3),B(4,﹣5)到l的距离相等,则直线l的方程是( )
A.4x+y﹣6=0
B.x+4y﹣6=0
C.3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0
D.2x+3y﹣7=0或x+4y﹣6=0
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【题目】若在曲线f(x,y)=0(或y=f(x))上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线f(x,y)=0或y=f(x)的“自公切线”.下列方程:
①x2﹣y2=1;
②y=x2﹣|x|;
③y=3sinx+4cosx;
④|x|+1=
对应的曲线中存在“自公切线”的有( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
的参数方程为
(
,
为参数).以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)当时,求曲线
上的点到直线
的距离的最大值;
(2)若曲线上的所有点都在直线
的下方,求实数
的取值范围.
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【题目】已知A,B两地的距离是120km,按交通法规规定,A,B两地之间的公路车速应限制在50~100km/h,假设汽油的价格是6元/升,以xkm/h速度行驶时,汽车的耗油率为 ,司机每小时的工资是36元,那么最经济的车速是多少?如果不考虑其他费用,这次行车的总费用是多少?
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【题目】如图,四棱锥中,底面
为梯形,
底面
,
,
,
,
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)设为
上的一点,满足
,若直线
与平面
所成角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f( )的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
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【题目】(本小题满分13分)设关于的一元二次方程
(
)有两根
和
,且满足
.
(1)试用表示
;
(2)求证:数列是等比数列;
(3)当时,求数列
的通项公式,并求数列
的前
项和
.
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