Question

【题目】若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程：
①x2﹣y2=1；
②y=x2﹣|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④|x|+1=
对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①、x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②、y=x2﹣|x|= ，在 x= 和 x=﹣ 处的切线都是y=﹣ ，故②有自公切线．
③、y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ= ，sinφ= ，
此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④、由于|x|+1= ，即 x2+2|x|+y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．
所以答案是 C．
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．