Question

16．在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度从1°变化到5°，反应结果如下表所示（x代表温度，y代表结果）：

x	1	2	3	4	5
y	3	5	7	10	11

（1）请在给出的坐标系中画出上表数据的散点图（点要描粗）
（2）求化学反应的结果y对温度x的线性回归方程$\hat y=\widehatbx+\hat a$；
（3）判断变量x与y是正相关还是负相关，并预测当温度达到10°时反应结果为多少？
附：线性回归方程$\hat y=\widehatbx+\hat a$中，$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\bar x}^2}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）在给出的坐标系中画出数据的散点图即可；
（2）由题意计算平均数与回归系数，写出回归方程，
（3）由回归系数$（\widehatb=2.1＞0）$判断x与y之间是正相关，利用回归方程计算x=10时$\stackrel{∧}{y}$的值．

解答 解：（1）在给出的坐标系中画出上表数据的散点图（点要描粗），如图所示；

（2）由题意，n=5，计算$\overline x=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5{x_i}=3$，
$\overline y=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5{y_i}=7.2$，
又$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}-5{\overline x^2}=55-5×9=10$，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}-5\overline x\overline y=129-5×3×7.2=21$；
∴$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{21}{10}=2.1$，
$\widehata=\overline y-b\overline x=7.2-2.1×3=0.9$，
故所求的回归方程为$\widehaty=2.1x+0.9$；
（3）由于变量y的值随温度x的值增加而增加$（\widehatb=2.1＞0）$，故x与y之间是正相关．
当x=10时，$\widehaty=2.1×10+0.9=21.9$，
即预测当温度达到10°时反应结果为21.9．

点评 本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是中档题．