Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱长均相等且为$\sqrt{2}$，DA=DC=$\sqrt{3}$，AB=BC=1．
（1）证明：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由侧棱相等可知底面ABCD为圆内接四边形，利用圆的性质得出AC⊥BD，H为AC的中点，由PA=PC得出AC⊥PH，故而AC⊥平面PBD，于是平面PAC⊥平面PBD；
（2）建立空间坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小．

解答 （1）证明：设AC交BD于H，连结PH．
∵四棱锥P-ABCD的侧棱长均相等，
∴A，B，C，D四点共圆，
∵AB=BC，AD=DC，
∴BD是底面圆的直径，
∴AC⊥BD，且H为AC的中点，
∵PA=PC，
∴PH⊥AC，
又PH∩BD=H，
∴AC⊥平面PBD，
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（2）设BD中点为O，连结OP，则OP⊥平面ABCD，
∵AB=1，AD=$\sqrt{3}$，∴BD=2，
以O为原点，以OD为x轴，以OP为z轴建立如图所示的空间坐标系：
则P（0，0，1），A（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），C（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），B（-1，0，0），
∴$\overrightarrow{PA}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1），$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），平面PAC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{-\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}_{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}-{z}_{2}=0}\\{\sqrt{3}{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
令y₁=1得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，-$\sqrt{3}$），令z₂=1得$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1）
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3\sqrt{3}}{\sqrt{7}•\sqrt{5}}$=-$\frac{3\sqrt{105}}{35}$．
∵二面角C-PA-B为锐二面角，
∴二面角C-PA-B的余弦值为$\frac{3\sqrt{105}}{35}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．