Question

6．对于命题P：存在一个常数M，使得不等式$\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+a}≤M≤\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2a}$对任意正数a，b恒成立．
（1）试给出这个常数M的值；
（2）在（1）所得结论的条件下证明命题P；
（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题Q：“存在一个常数M，使得不等式$\frac{a}{3a+b}+\frac{b}{3b+c}+\frac{c}{3c+a}≤M≤\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}$对任意正数a，b，c恒成立．”观察命题P与命题Q的规律，请猜想与正数a，b，c，d相关的命题．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用特殊值法，令a=b可得，$\frac{2}{3}≤M≤\frac{2}{3}$，分析即可得M的值；
（2）由分析法的思路：先证明$\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+a}≤\frac{2}{3}$，再类比可以证明$\frac{2}{3}≤\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2a}$，综合即可得证明；
（3）利用类比推理的思路，分析可得答案．

解答 解：（1）根据题意，由于$\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+a}≤M≤\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2a}$对任意正数a，b恒成立，
令a=b得：$\frac{2}{3}≤M≤\frac{2}{3}$，
故$M=\frac{2}{3}$； 
（2）要证明$\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+a}≤M≤\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2a}$，
先证明$\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+a}≤\frac{2}{3}$．
∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），
即证a²+b²≥2ab即证（a-b）²≥0，这显然成立．
∴$\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+a}≤\frac{2}{3}$．
再证明$\frac{2}{3}≤\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2a}$．
∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），
即证a²+b²≥2ab即证（a-b）²≥0，这显然成立．
∴$\frac{2}{3}≤\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2a}$；
（3）猜想结论：存在一个常数M，使得不等式$\frac{a}{4a+b}+\frac{b}{4b+c}+\frac{c}{4c+d}+\frac{d}{4d+a}≤M≤\frac{a}{a+4b}+\frac{b}{b+4c}+\frac{c}{c+4d}+\frac{d}{d+4a}$对任意正数a，b，c，d恒成立．

点评 本题考查用分析法证明不等式，类比推理的应用，关键是利用特殊值法找出M的值．