Question

16．已知直线$l：\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0$与圆C：x²+y²=4相交于A，B两点．
（1）求|AB|；
（2）求弦AB所对圆心角的大小．

Answer 1

分析 （1）联立方程组，求出A，B的坐标，由此能求出|AB|．
（2）由|AB|=|OB|=|OA|=2，得△AOB是等边三角形，由此能求出弦AB所对圆心角的大小．

解答 解：（1）如图所示，
由$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$，消去y，得x²-3x+2=0，
解得x₁=2，x₂=1，∴$A（2，0），B（1，\sqrt{3}）$，
∴$|AB|=\sqrt{{{（2-1）}^2}+{{（0-\sqrt{3}）}^2}}=2$．
（2）又∵|OB|=|OA|=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴$∠AOB=\frac{π}{3}•$

点评 本题考查弦长的求法，考查弦所对的圆心角的求法，考查圆、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．