Question

7．若对任意实数x，不等式|x-a|+|2x-1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得函数y=|x-a|+|2x-1|的最小值大于或等于2，利用分段函数的单调性求得函数y=|x-a|+|2x-1|的最小值，根据此最小值大于或等于2，求得a的范围．

解答 解：∵不等式|x-a|+|2x-1|≥2恒成立，故函数y=|x-a|+|2x-1|的最小值大于或等于2．
①当a=$\frac{1}{2}$时，不等式即3|x-$\frac{1}{2}$|≥2，即|x-$\frac{1}{2}$|≥$\frac{2}{3}$，显然不满足不等式|x-a|+|2x-1|≥2恒成立．
当a＞$\frac{1}{2}$时，函数y=|x-a|+|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+a+1，x≤\frac{1}{2}}\\{x+a-1，\frac{1}{2}＜x＜a}\\{3x-a-1，x≥a}\end{array}\right.$，根据单调性可得函数y的最小值为-3•$\frac{1}{2}$+a+1=a-$\frac{1}{2}$，
由a-$\frac{1}{2}$≥2，求得a≥$\frac{5}{2}$．
当a＜$\frac{1}{2}$时，函数y=|x-a|+|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+a+1，x≤a}\\{-x-a+1，a＜x＜\frac{1}{2}}\\{3x-a-1，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，根据单调性可得函数y的最小值为-$\frac{1}{2}$-a+1=$\frac{1}{2}$-a，
再由$\frac{1}{2}$-a≥2，求得a≤-$\frac{3}{2}$．
综合可得a的范围为{a|a≥$\frac{5}{2}$，或a≤-$\frac{3}{2}$}．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式、分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，属于难题．