Question

2．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{3a-c}{b}$．
（1）求sinB的值；
（2）若b=4$\sqrt{2}$，且a=c，求边AC上的高．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理将边化角化简得出；
（2）使用余弦定理解出a，得出三角形的面积，利用等面积法求出高．

解答 解：（1）∵$\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{3a-c}{b}$=$\frac{3sinA-sinC}{sinB}$，
∴sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB．即sinA=3sinAcosB，
∵sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{3}$．
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{2{a}^{2}-32}{2{a}^{2}}=\frac{1}{3}$．
∴a=c=2$\sqrt{6}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=8$\sqrt{2}$．
设△ABC的边AC上的高为h，则S_△ABC=$\frac{1}{2}$bh=2$\sqrt{2}$h．
∴2$\sqrt{2}$h=8$\sqrt{2}$，∴h=4．
∴△ABC边AC上的高为4．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．