Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=

1

2

AD=2，O为AD上一点，且 AO=1，平面外两点P，E满足PO=

3

2

，AE=1，EA⊥平面ABCD，PO∥EA．
（1）证明：BE∥平面PCD．
（2）求该几何体的体积．

Answer 1

考点：组合几何体的面积、体积问题

专题：计算题,证明题

分析：（1）在平面PCD内作直线FC，利用直线与平面平行的判定定理证明BE∥平面PCD．
（2）分割几何体为两个棱锥，利用已知数据即可求该几何体的体积．

解答： 解：（1）作EF∥AD，交PD于F，连结FC，OB，作FG∥EA，交AD于G，连结GC，
∵AD∥BC，AB=BC=CD=

1

2

AD=2，EF∥AD，
∴AEFG是矩形，∵BC

∥

.

AG，∴EF

∥

.

BC，
∴BCFE是平行四边形，BE∥CF，CF?面PCD，BE?面PCD，
∴BE∥平面PCD．
（2）由题意，几何体看作P-BCDO，B-POAE两个棱锥的体积的和，
∵EA⊥平面ABCD，PO∥EA，∴PO⊥平面ABCD，
∵AO=1，平面外两点P，E满足PO=

3

2

，AE=1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=

1

2

AD=2，
∴BO⊥平面PEAO，
∴几何体的体积为：V_P-BCDO+V_B-POAE=

1

3

×

2+3

2

×

3

×

3

2

+

1

3

×

1+ 3 2

2

×1×

3

=

5 3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力与计算能力．