Question

【题目】（原创，较难）椭圆的左右焦点分别为，与y轴正半轴交于点B，若为等腰直角三角形，且直线被圆所截得的弦长为2.

（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于点A、C，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为重心，探求面积是否为定值，若是求出这个值，若不是求的取值范围

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 面积为定值.

【解析】

分析：（1）由为等腰直角三角形可得，由直线：被圆所截得的弦长为2，可得，，从而可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，设，，联立，利用韦达定理、结合重心坐标公式求出点坐标，代入椭圆方程可得，利用弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得的面积为，化简可得结果.

详解：（1）由为等腰直角三角形可得，直线：被圆所截得的弦长为2，所以，，所以椭圆的方程为．

（2）若直线的斜率不存在，则．

若直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，

即则,,,

由题意点为重心，设，则，，

所以，，代入椭圆，得

，整理得，

设坐标原点到直线的距离为，则的面积

．

综上可得的面积为定值．