Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，，为上的动点.

（Ⅰ）当为的中点时，在棱上是否存在点，使得？说明理由；

（Ⅱ）的面积最小时，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析.

(Ⅱ) .

【解析】

（Ⅰ）当N为PB中点时，MN∥平面PDA．

取PB的中点N，连接MN，由M，N分别为PC，PB中点，可得MN∥BC，又BC∥AD，得MN∥AD，再由直线与平面平行的判定对立即可证明MN∥平面PDA；

（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，DB平面ABCD，知PD⊥BD，又BD⊥CD，CD∩PD=D，得BD⊥平面PCD，又MD平面PDC，可得BD⊥MD，进一步得到△DBM为直角三角形，当MD⊥PC时△BDM的面积最小，然后利用等积法即可求出三棱锥M﹣BCD的体积．

（Ⅰ）当N为PB中点时，MN∥平面PDA．

证明如下：取PB的中点N，连接MN，

∵M，N分别为PC，PB中点，

∴MN∥BC，

又BC∥AD，

∴MN∥AD，

又DA平面PDA，MN平面PDA，

∴MN∥平面PDA；

（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，DB平面ABCD，知PD⊥BD，

又BD⊥CD，CD∩PD=D，

∴BD⊥平面PCD，

又MD平面PDC，

∴BD⊥MD，

∴△DBM为直角三角形．

当MD⊥PC时△BDM的面积最小．

在底面直角梯形ABCD中，

由∠ABC=∠BAD=90°，AD=AB=BC=1，得CD=，

∴BD=．

在Rt△PDC中，由PD=，CD=，可得PC=，MD=．

则CM=，

∴S△MCD=．

∴==．