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    已知直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分别是AB，AE上的动点，且CD∥BE，将△ACD沿CD折起到位置A1CD，使平面A1CD与平面BCD所成的二面角A1-CD-B的大小为θ，设
    CD
    BE
    =λ，λ∈（0，1）．
    （1）若θ=
    π
    2
    且A1E与平面BCD所成的角的正切值为
    		2
    2
    ，求二面角A1-DE-B的大小的正切值；
    （2）已知λ=
    1
    2
    ，G为A1E的中点，若BG⊥A1D，求cosθ的取值．
    考点：二面角的平面角及求法
    专题：计算题,作图题,空间位置关系与距离
    分析：（1）由题意可证A1C⊥平面BCD，从而∠A1EC为直线A1E与平面BCD所成的角，设A1C=x，由勾股定理可求得x=2，作出二面角A1-DE-B的平面角∠A1OC，在直角三角形中求正切值即可，
    （2）由题意可知，A1B=BE=2，A1C=BC=2，故△A1CB是等边三角形，从而求cosθ的取值．
    解答： 解：（1）由题意，∠A1CB=θ=
    π
    2
    ，∴A1C⊥CB，
    ∵A1C⊥CD，CB∩CD=C，
    ∴A1C⊥平面BCD，
    ∴∠A1EC为直线A1E与平面BCD所成的角，
    设A1C=x，
    ∵A1E与平面BCD所成的角的正切值为
    		2
    2
    ，∴CE=
    		2
    x，
    ∴（4-x）2+4=（
    		2
    x）2，∴x=2，即C为AB的中点，
    在图1中，设C在AD上的射影为O，则CO=
    2
    		5
    5
    ，
    ∠A1OC为二面角A1-DE-B的平面角，
    ∴二面角A1-DE-B的大小的正切值为tan∠A1OC=
    A1C
    OC
    =
    		5
    ；
    （2）∵
    CD
    BE
    =λ=
    1
    2
    ，∴C为AB的中点，
    又∵G为A1E的中点，BG⊥A1D，
    ∴A1B=BE=2，
    又∵A1C=BC=2，
    故△A1CB是等边三角形，
    故cosθ=
    1
    2
    ．
    点评：本题考查了空间中的位置关系，考查了学生的空间想象力与作图能力，同时考查了勾股定理的应用，属于难题．
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    x2
    a2
    +
    y2
    b2
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    2
    		3
    3
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    ．

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