Question

已知函数f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R，设a≠0，函数f（x）在开区间（m，n）上既有最大值又有最小值，求m、n的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：利用绝对值的几何意义，分类讨论，确定函数的单调性，）要使函数在（m，n）上既有最大值又有最小值，则最小值在x=a处取得，最大值在x=

3a

4

处取得，然后根据条件确定m，n的取值范围即可．

解答： 解：当x≥a时，f（x）=x²+3x|x-a|=4x²-3ax=4（x-

3a

8

）²-

9a2

16

，
当x＜a时，f（x）=x²+3x|x-a|=-2x²+3ax=-2（x-

3a

4

）²+

9a2

8

，
要使得函数f（x）在开区间（m，n）内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x=a处取得，最大值在x=

3a

4

处取得；
f（a）=a²，在区间（-∞，a）内，函数值为a²时x=

1

2

a，
此时

a

2

≤m＜

3a

4

；
f（

3a

4

）=

9a2

8

，而在区间（a，+∞）内函数值为

9a2

8

，
此时x=

3+3 3

8

a，
∴a＜n≤

3+3 3

8

a．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，求二次函数在闭区间上的最值，体现了转化、数形结合的数学思想，难度较大，综合性较强．