Question

【题目】若函数满足：对于任意正数，都有，且，则称函数为“函数”。

（1）试判断函数是否是“函数”并说明理由；

（2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；

（3）若函数为“函数”，且.

求证（）；

（）对任意，都有.

Answer 1

【答案】（1）是，理由见解析；（2）（3）（）证明见解析；（）证明见解析

【解析】

（1）根据定义逐判断即可；

（2）根据定义可知g（t）＝3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，可得a≤1，由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，得出a≥﹣1，最后求出a的范围；

（3）根据定义，令s＝t，可知f（2s）＞2f（s），即，利用累乘得对于正整数k与正数s，都有，进而得出结论．

（1）对于函数，当t＞0，s＞0时，，

又，所以f1（s）+f1（t）＜f1（s+t），

故是“L函数”．

（2）当t＞0，s＞0时，由g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”，

可知g（t）＝3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，

又3t﹣1＞0，可得a＜3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．

由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，

即3t（3s﹣1）﹣（3s﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）

＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a3﹣s﹣t（3s﹣1）（3t﹣1）＞0，

故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）＞0，又（3t﹣1）（3s﹣1）＞0，故3s+t+a＞0，

由3s+t+a＞0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．

综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]．

（3）由函数f（x）为“L函数”，可知对于任意正数s，t，

都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），

令s＝t，可知f（2s）＞2f（s），即，

故对于正整数k与正数s，都有，

对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），可得，又f（1）＝1，

所以，

同理，

故．