Question

12．设函数f（x）=|x-1|+2|x+1|
（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）当f（x）≤4时，|x+3|+|x+a|＜x+6，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；
（Ⅱ）根据[-$\frac{5}{3}$，1]⊆（-a-3，-a+3），得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-1|+2|x+1|≤4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-1+2x+2≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{-x+1+2x+2≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-x+1-2x-2≤4}\end{array}\right.$，
解得：{x|-$\frac{5}{3}$≤x≤1}；
（Ⅱ）在-$\frac{5}{3}$≤x≤1时，不等式|x+3|+|x+a|＜x+6等价于|x+a|＜3，
等价于-a-3＜x＜-a+3，
从而[-$\frac{5}{3}$，1]⊆（-a-3，-a+3），
故$\left\{\begin{array}{l}{1＜-a+3}\\{-a-3＜-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
解得：{a|-$\frac{4}{3}$＜a＜2}．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及集合的包含关系，是一道中档题．