已知函数f-1的一个零点是$x=\frac{π}{3}$.其图象上一条对称轴方程为$x=-\frac{π}{6}$.则当ω取最小值时.下列说法正确的是①③．(填写所有正确说法的序号)①当$x∈[-\frac{4π}{3}.-\frac{π}{6}]$时.函数f(x)单调递增,②当$x∈[-\frac{π}{6}.\frac{5π}{3}]$时.函数f(x)单调� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．已知函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）-1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是$x=\frac{π}{3}$，其图象上一条对称轴方程为$x=-\frac{π}{6}$，则当ω取最小值时，下列说法正确的是①③．（填写所有正确说法的序号）
①当$x∈[-\frac{4π}{3}，-\frac{π}{6}]$时，函数f（x）单调递增；
②当$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{3}]$时，函数f（x）单调递减；
③函数f（x）的图象关于点$（\frac{7π}{12}，-1）$对称；
④函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{-4π}{3}$对称．

分析根据函数f（x）的一个零点是x=$\frac{π}{3}$，得出f（$\frac{π}{3}$）=0，再根据直线x=-$\frac{π}{6}$是函数f（x）图象的一条对称轴，得出-$\frac{π}{6}$ω-φ=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z；由此求出ω的最小值与对应φ的值，写出f（x），再根据正弦函数的图象与性质进行判断．

解答解：函数f（x）=2sin（ωx-φ）-1的一个零点是x=$\frac{π}{3}$，
∴f（$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{π}{3}$ω-φ）-1=0，
∴sin（$\frac{π}{3}$ω-φ）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$ω-φ=$\frac{π}{6}$+2kπ或$\frac{π}{3}$ω-φ=$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z；
又直线x=-$\frac{π}{6}$是函数f（x）图象的一条对称轴，
∴-$\frac{π}{6}$ω-φ=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z；
又ω＞0，|φ|＜π，
∴ω的最小值是$\frac{2}{3}$，φ=-$\frac{11π}{18}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$）-1；
当x∈[-$\frac{4π}{3}$，-$\frac{π}{6}$]时，$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$∈[-$\frac{5π}{18}$，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）在[-$\frac{4π}{3}$，-$\frac{π}{6}$]上单调递增，故①正确；
当x∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]时，$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$∈[$\frac{π}{18}$，$\frac{31π}{18}$]，
∴f（x）在[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]上不单调，故②错误；
当x=$\frac{7π}{12}$时，sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$）=sinπ=0，故③正确；
当$x=\frac{-4π}{3}$时，sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$）=sin（-$\frac{5π}{18}$）≠±1，故④错误．y
故答案为：①③．

点评本题考查了y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，正弦函数的性质，属于中档题．

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