Question

已知一条曲线C₁在y轴右边，C₁上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1，C₂：

x2

4

+

y2

3

=1，过点F的直线l交C₁于A，C两点，交C₂于B，D两点，
（1）求曲线C₁方程．
（2）是否存在直线l，使k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0（k_OA，k_OB，k_OC，k_OD为斜率），若存在，求出所有满足条件的直线l；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设M（x，y）是曲线C上任意一点，那么点M（x，y）满足

(x-1)2+y2

-x=1（x＞0），由此能求出曲线C₁的方程．
（2）假设存在直线l，使k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0．①设直线l：x=1，求出l与抛物线的交点A，C，与椭圆的交点B，D，判断斜率之和是否为0；②设直线l：y=k（x-1），联立抛物线y²=4x，运用韦达定理，和斜率公式，化简
k_OA+K_OC=-

4

k

，直线l与椭圆方程3x²+4y²=12联立消去y，得到关于x的方程，运用韦达定理和斜率公式，得到k_OB+k_OD=-

6k

k2-3

，再由k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0，解出k即可．

解答： 解：（1）设M（x，y）是曲线C₁上任意一点，
那么点M（x，y）满足

(x-1)2+y2

-x=1（x＞0）
化简，得抛物线方程：y²=4x（x＞0）．
（2）假设存在直线l，使k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0．
①设直线l：x=1，则l与抛物线的交点为A（1，2），C（1，-2），
l与椭圆的交点为B（1，

3

2

），D（1，-

3

2

），即有k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0．
②设直线l：y=k（x-1），联立抛物线y²=4x，得

k

4

y²-y-k=0，y₁+y₂=

4

k

，
y₁y₂=-4．则k_OA+K_OC=

y1

x1

+

y2

x2

=

4y1

y12

+

4y2

y22

=4•

y1+y2

y1y2

=-

4

k

，
直线l与椭圆方程3x²+4y²=12联立消去y，得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
x₃+x₄=

8k2

3+4k2

，x₃x₄=

4k2-12

3+4k2

，
k_OB+k_OD=

y3

x3

+

y4

x4

=

k(x3-1)

x3

+

k(x4-1)

x4

=2k-k•

x3+x4

x3x4

=2k-k•

8k2

4k2-12

=-

6k

k2-3

，
由k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0即-

4

k

-

6k

k2-3

=0，k=±

30

5

．
即直线l的方程为：y=±

30

5

（x-1）．
综上，所有满足条件的直线l为：x=1或y=±

30

5

（x-1）．

点评：本题考查轨迹方程的求法：直接法，注意化简等价性，同时考查直线与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，运用韦达定理和斜率公式，化简求解的能力，属于中档题．