Question

18．若实数x，y满足等式 x²+y²=4x-1，那么$\frac{y}{x}$的最大值为$\sqrt{3}$．x²+y²的最小值为7-4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 ①x²+y²=4x-1，令$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，代入上式可得：x²（1+k²）-4x+1=0，令△≥0，解得k即可得出．
②令x=2+$\sqrt{3}$cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ，θ∈[0，2π）．代入x²+y²，利用三角函数平方关系及其单调性即可得出．

解答 解：①∵x²+y²=4x-1，∴（x-2）²+y²=3．
令$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，代入上式可得：x²（1+k²）-4x+1=0，
令△=16-4（1+k²）≥0，解得$-\sqrt{3}≤k≤\sqrt{3}$，因此$\frac{y}{x}$的最大值为$\sqrt{3}$．
②令x=2+$\sqrt{3}$cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ，θ∈[0，2π）．
则x²+y²=$（2+\sqrt{3}cosθ）^{2}+（\sqrt{3}sinθ）^{2}$=7+4$\sqrt{3}$cosθ≥7-4$\sqrt{3}$，当且仅当cosθ=-1时取等号．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、三角函数换元方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．