Question

9．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P．证明：|AM|•|AN|=2|OP|²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，由离心率公式和a，bc的关系和椭圆的定义，得到方程组，解得a，b，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线AM的方程为：y=k（x+2），联立椭圆方程，运用韦达定理，设A（-2，0），M（x₁，y₁），
可得M的坐标，运用两点的距离公式，计算|AM|，|AN|，再由直线y=kx代入椭圆方程，求得P的坐标，得到|OP|，计算即可得证结论．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由题意知$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\ 2a=4\end{array}\right.$解得a=2，b=1．
所以椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）证明：设直线AM的方程为：y=k（x+2），则N（0，2k）．
由 $\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0（*）．
设A（-2，0），M（x₁，y₁），则-2，x₁是方程（*）的两个根，
所以${x_1}=\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$．
所以$M（\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}\;，\;\frac{4k}{{1+4{k^2}}}）$．
$|AM|=\sqrt{{{（\frac{{2-8{k^2}+2+8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}）}^2}+{{（\frac{4k}{{1+4{k^2}}}）}^2}}$=$\sqrt{\frac{{16+16{k^2}}}{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}}=\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}$．$|AN|=\sqrt{4+4{k^2}}=2\sqrt{1+{k^2}}$．
则$|AM||AN|=\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}•2\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}=\frac{{8（1+{k^2}）}}{{1+4{k^2}}}$．
设直线OP的方程为：y=kx．
由 $\left\{\begin{array}{l}y=kx\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-4=0．
设P（x₀，y₀），则${x_0}^2=\frac{4}{{1+4{k^2}}}$，${y_0}^2=\frac{{4{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$．
所以$|OP{|^2}=\frac{{4+4{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，$2|OP{|^2}=\frac{{8+8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$．
所以|AM|•|AN|=2|OP|²．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．