Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，异面直线PA和CD所成角等于60°.

(1)求证：面PCD⊥面PBD；
(2)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小；
(3)在棱PA上是否存在一点E，使得二面角A-BE-D的余弦值为？若存在，指出点E在棱PA上的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）见解析（2）存在

(1)证明:PB⊥底面ABCD，∴PD⊥CD，
又∵CD⊥PD，PD∩PB＝P，PD，PB?平面PBD.
∴CD⊥平面PBD，又CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PBD.
(2)如图，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设BC＝a，BP＝b，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，a,0)，
D(2,2,0)，P(0,0，b)．
∵＝(2,2，－b)，＝(2,2－a,0)，CD⊥PD，
∴·＝0，∴4＋4－2a＝0，a＝4，
又＝(2,0，－b)，＝(2，－2,0)，
异面直线PA和CD所成角等于60°，
∴＝，
即＝，解得b＝2，
＝(0,4，－2)，＝(0,2,0)，＝(2,0，－2)．
设平面PAD的一个法向量为n₁＝(x₁，y₁，z₁)，
则由得
取n₁＝(1,0,1)，
∵sin θ＝＝＝，∴直线PC和平面PAD所成角的正弦值为.
(3)解　假设存在，设＝λ，且E(x，y，z)，则(x，y，z－2)＝λ(2,0，－2)，E(2λ，0,2－2λ)，设平面DEB的一个法向量为n₂＝(x₂，y₂，z₂)，
则由得
取n₂＝(λ－1,1－λ，λ)，
又平面ABE的法向量n₃＝(0,1,0)，
由cos θ＝＝，得＝，解得λ＝或λ＝2(不合题意)．
∴存在这样的E点，E为棱PA上的靠近A的三等分点．