Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2.四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且＝λ.

(1)求证：EF∥平面PAD.
(2)当λ＝时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；
(3)是否存在实数λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）见解析（2）（3）存在，λ＝

(1)证明:由已知＝λ，∴EF∥BC，又BC∥AD，∴EF∥AD，而EF?平面PAD，AD?平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
(2)解　因为平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC＝AC，且PA⊥AC，∴PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AB，PA⊥AD.又∵AB⊥AD，
∴PA，AB，AD两两垂直．
如图所示，建立空间直角坐标系

∵AB＝BC＝1，PA＝AD＝2，
∴A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，当λ＝时，F为PC中点，
∴F，∴＝，＝(－1,1,0)，设异面直线BF与CD所成的角为θ，∴cos θ＝|cos〈，〉|＝＝.故异面直线BF与CD所成角的余弦值为.
(3)解:设F(x₀，y₀，z₀)，则＝(x₀，y₀，z₀－2)，＝(1,1，－2)，又＝λ
∴∴＝(λ，λ，2－2λ)，
设平面AFD的一个法向量为m＝(x₁，y₁，z₁)，则
即
令z₁＝λ，得m＝(2λ－2,0，λ)．
设平面PCD的一个法向量为n＝(x₂，y₂，z₂)．则即
取y₂＝1，则x₂＝1，z₂＝1，∴n＝(1,1,1)，
由m⊥n，得m·n＝(2λ－2,0，λ)·(1,1,1)＝2λ－2＋λ＝0，解得λ＝.