【题目】如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上, ,
交
于
,
(1)证明: ;
(2) 求平面与
所成的锐角二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)先利用线面垂直的性质和判定得到线线垂直和线面垂直,再根据直径所对的圆周角为直角和线面垂直的性质、等腰直角三角形得到线线垂直,进而利用线面垂直的判定定理进行证明;(2)根据垂直关系建立适当的空间直角坐标系,写出相关点坐标,求出有关平面的法向量,再利用有关公式进行求解 .
试题解析:(1)证明:∵EA⊥平面ABC,BM平面ABC,∴EA⊥BM.
又∵BM⊥AC,EA∩AC=A,∴BM⊥平面ACFE,
而EM平面ACFE,∴BM⊥EM.∵AC是圆O的直径,∴∠ABC=90°.
又∵∠BAC=30°,AC=4,∴AB=,BC=2,AM=3,CM=1.
∵EA⊥平面ABC,FC‖EA, ∴FC⊥平面ABCD.
∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形.
∴∠EMA=∠FMC=45°.∴∠EMF=90°,即EM⊥MF(也可由勾股定理证得).
∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面MBF.
而BF平面MBF,∴EM⊥BF.
(2)解法一:延长EF交AC于G,连BG,过C作CH⊥BG,连接FH.
由(1)知FC⊥平面ABC,BG平面ABC,∴FC⊥BG.
而FC∩CH=C,∴BG⊥平面FCH.∵FH平面FCH,∴FH⊥BG,
∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角.
在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AC=4,
∴BM=ABsin=
.
由.
∵与
相似,
,
∴△FCH是等腰直角三角形,∠FHCspan>=45°.∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
解法二:如图:以A为坐标原点,AC、AE分别为y轴和Z轴建立空间直角坐标系,
由已知得,
,
设平面的法向量为
,
由
得
令,由
得平面ABC的一个法向量为
设平面与
所成的锐角二面角为
,
则
所以,平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】函数f(x)= ,(x∈(﹣∞,0]∪[2,+∞))的值域为( )
A.[0,4]
B.[0,2)∪(2,4]
C.(﹣∞,0]∪[4,+∞)
D.(﹣∞,2)∪(2,+∞)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
,其中函数
的图象在点
处的切线平行于
轴.
(1)确定与
的关系;若
,并试讨论函数
的单调性;
(2)设斜率为的直线与函数
的图象交于两点
,求证:
.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆为参数
和直线
其中
为参数,
为直线
的倾斜角
.
(1)当时,求圆上的点到直线
的距离的最小值;
(2)当直线与圆
有公共点时,求
的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】以直角坐标系的原点为极点,
轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线
的参数方程为
,(
为参数,
),曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线
相交于
,
两点,当
变化时,求
的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线l过点P(0,2),斜率为k,圆Q:x2+y2﹣12x+32=0.
(1)若直线l和圆相切,求直线l的方程;
(2)若直线l和圆交于A、B两个不同的点,问是否存在常数k,使得+
与
共线?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知为直角坐标系的坐标原点,双曲线
上有一点
(
),点
在
轴上的射影恰好是双曲线
的右焦点,过点
作双曲线
两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为
,
,若平行四边形
的面积为1,则双曲线的标准方程是( )
A. B.
C.
D.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com