Question

【题目】已知直线l过点P（0，2），斜率为k，圆Q：x2+y2﹣12x+32=0．
（1）若直线l和圆相切，求直线l的方程；
（2）若直线l和圆交于A、B两个不同的点，问是否存在常数k，使得+与共线？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）将圆的方程化简，得：（x﹣6）2+y2=4，圆心Q（6，0），半径r=2．
设直线l的方程为：y=kx+2，故圆心到直线l的距离d==．
因为直线l和圆相切，故d=r，即=2，解得k=0或k=﹣．
所以，直线l的方程为y=2或3x+4y﹣8=0．
（2）将直线l的方程和圆的方程联立，消y得：（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36=0，
因为直线l和圆相交，故△=[4（k﹣3）]2﹣4×36×（1+k2）＞0，解得﹣＜k＜0．
设A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），则有：x1+x2=；x1x2=
而y1+y2=kx1+2+kx2+2=k（x1+x2）+4，+=（x1+x2 ， y1+y2），=（6，﹣2）．
因为+与共线，所以﹣2×（x1+x2）=6×（y1+y2）．
即（1+3k）（x1+x2）+12=0，代入得（1+3k）[﹣]+12=0，解得k=﹣．
又因为﹣＜k＜0，所以没有符合条件的常数k．
【解析】（1）确定圆的圆心与半径，设出直线方程，利用直线l和圆相切，建立方程，即可求得结论；
（2）将直线l的方程和圆的方程联立，利用韦达定理，及+与共线，结合根的判别式，可得结论．